Let the equation $x(x+2)(12-k)=2$ have equal roots. Then the distance of the point $\left(k,\dfrac{k}{2}\right)$ from the line $3x+4y+5=0$ is

$ x(x+2)(12-k)=2 $

$ (12-k)(x^2+2x)-2=0 $

$ (12-k)x^2 + 2(12-k)x -2=0 $

Equal roots ⇒ $ D=0 $

$ [2(12-k)]^2 - 4(12-k)(-2)=0 $

$ 4(12-k)^2 + 8(12-k)=0 $

$ 4(12-k)(14-k)=0 $

$ k=12 ; \text{or} ; 14 $

$ k=12 $ invalid ⇒ $ k=14 $

Point $ (k,\frac{k}{2})=(14,7) $

Distance $ = \frac{|3(14)+4(7)+5|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{75}{5}=15 $

$ \boxed{15} $